You are here

diversen

kokosnoten raadsel

Kokosnotenraadsel

Vijf piraten leiden schipbreuk en stranden op een onbewoond eiland. Ze komen er al snel achter dat het enige andere levende wezen op het eiland een aap is en dat ze de komende periode zullen moeten zien te overleven op kokosnoten — het enige voedsel dat op het eiland te vinden is. Ze trekken er met z'n allen op uit om zoveel mogelijk kokosnoten te verzamelen, en stapelen die in een grote hoop op het strand. Bij het vallen van de avond zijn ze te uitgeput om hun oogst nog onder elkaar te verdelen. Daarom besluiten ze om te gaan slapen en het verdelen van de kokosnoten uit te stellen tot de volgende ochtend.
Tijdens de nacht wordt één van de piraten wakker omdat hij de andere piraten ervan verdenkt dat ze hem bij het verdelen van de kokosnoten zullen proberen te bedriegen. Hij besluit om terstond zijn deel van de kokosnoten weg te nemen en daarmee niet te wachten tot de volgende ochtend. Hij verdeelt de kokosnoten in vijf gelijke stapels en merkt daarbij dat er één kokosnoot overblijft die hij aan de aap geeft. Hij verbergt de kokosnoten van één stapel, legt de rest van de kokosnoten terug bij elkaar op één grote hoop en gaat weer slapen.
Ongeveer een uur later wordt een tweede piraat wakker — bang dat de anderen hem er in zullen luizen — en doet hetzelfde als de eerste piraat: hij verdeelt de kokosnoten in vijf gelijke stapels, merkt daarbij dat er één kokosnoot overblijft en geeft die aan de aap. Daarna verbergt hij de stapel die hij als zijn aandeel beschouwt, legt de rest terug op één grote hoop en gaat weer slapen. Een na een doet de rest van de piraten hetzelfde: ze nemen één vijfde van de kokosnoten uit de hoop, geven één resterende kokosnoot aan de aap en gaan daarna weer slapen.
De oplossing met 5 piraten is 3121, maar met 18746 noten lukt het ook.

We gaan dit raadsel te lijf door eerst eens te kijken als er maar 2 piraten zouden zijn. Een oplossing is er dan met 11 kokosnoten. De eerste piraat pakt er 5 en 1 voor de aap, de tweede pakt er 2 en nog 1 voor de aap en bij de laatste verdeling krijgt ieder er nog 1. Maar bij 3 piraten gaat het niet lukken om er 3 over te houden bij de laatste verdeling, twee stapel hebben altijd een even getal als som, de laatste piraat moet als som van 2 stapels minstens 6 overhouden. Hij had dan 10 noten te verdelen. De tweede piraat kan dan 3 stapels van 5 maken en er 1 overhouden, dus begon hij met 16. De eerste piraat maakte dus 3 stapels van 8 en begon dus met 25 noten. In de laatste verdeling waren er dan 2 noten over voor elke piraat. Een volgende oplossing is met 10 noten in de eindverdeling. Begin met 106 noten. De eerste piraat met 3 stapels van 35 en 1 noot voor de aap. Er zijn nog 70 noten over. De tweede piraat maakt 3 stapels van 23 en 1 noot voor de aap. Er zijn dan nog 46 noten over. De derde piraat maakt 3 stapels van 15 en 1 noot voor de aap. In de laatste verdeling krijgt elk nog 10 noten. Op basis hiervan is eenvoudig een programma te schrijven. Begin met de laatste verdeling, tel gewoon vanaf 1 kokosnoot per piraat, onderzoek dan of de laatste piraat zoveel stapeltjes kan maken als er piraten zijn en er 1 voor de aap overhouden zodanig dat de volgende verdeling mogelijk is.

We kunnen ook nog kijken of we er met wat analyse wat mee kunnen:

Er zijn P piraten en K kokosnoten en N kokosnoten bij de laatste verdeling.
De eerste piraat haalt er (K-1)/P +1 vanaf (zijn stapel en 1 voor de aap) Er blijven er
R1= (K-1)*(P-1)/P over. De volgende piraat haalt er (R1-1)/P + 1 vanaf en dan blijven er
R2= (R1-1)*(P-1)/P over enzovoort. R1, R2, R3 enz zijn alle deelbaar door (P-1)
De laatste verdeling is N = R/P voor elke piraat. We kunnen nu substitueren en het verband tussen N en K bepalen (^ is het machtssymbool en Y = (P-1)/P):
N = (K * Y^P – SOM( Y t/m Y^P)/P = (K * Y^P – (P*(1-Y^(P+1)) –+1 )/P =
(K * Y^P)/P – (1-Y^(P+1)) + 1/P ; Hierin substitueren we weer Y = (P-1)/P
N = ((P-1)^P * ( K + P – 1 )) / P ^( P+1) – (P-1)/P
Voor P > 2 is (P-1) nooit een deler van P , als dit in de vorm moet zijn van ( X – (P-1))/P dan moet
K + P -1 deelbaar zijn door P^5.
Voor P = 5 : K + 5 -1 = 3125 en K = 3121 ; controle blijkt dat dit klopt.
Zo kan ook gevonden worden dat een volgende oplossing komt met K+5-1 = 6 * 3125

Succes gewenst.

Een pagina om te tonen wat ik leuk vind.